Cálculo Vectorial: 2013

INTEGRALES MÚLTIPLES

Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, $f(x,y)$ ó $f(x,y,z)$ .

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación $x_{n+1} = f(x_1,...,x_n)$ y una región $T$ en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función $f$ (si $T$ es una región cerrada y acotada y $f$ está definida en ésta).

Integrales múltiples e Integrales iteradas

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión

$\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$

se refiere a una integral iterada, la parte externa

$\int_a^b \cdots \, dx$

es la integral con respecto a x de la función de x:

$g(x)=\int_c^d f(x,y)\,dy.$

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

$\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx \neq \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$

De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

$\int_{A\times B} |f(x,y)|\,d(x,y)<\infty,$

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.

$\int_{A\times B} f(x,y)\,d(x,y)=\int_A\left(\int_B f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int_B\left(\int_A f(x,y)\,dx\right)\,dy.$

Métodos de integración

Funciones constantes

En el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplíquese el valor de la función constante c por la medida del dominio de integración. Si c = 1, y es integrada a través de una región de R² esto da el área de la región, mientras que si es una región de R³ da el volumen de la región y así sucesivamente.

Por ejemplo:

$D = \{ (x,y)| \ 2 \le x \le 4 \ ; \ 3 \le y \le 6 \}$ y $f(x,y) = c\,\!$

Integrando f sobre D:

$\int_3^6 \int_2^4 \ c \ dx\, dy = c \cdot \mbox{area}(D) = c \cdot (3 \cdot 2) = c \cdot 6.$

Uso de simetrías

En el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo

Dada $f(x,y) = 2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5$ y que $T = x^2 + y^2 \le 1$ es el dominio de integración del disco de radio 1 centrado en el origen.

Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en tres partes:

$\iint_T (2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5) \ dx \, dy = \iint_T 2 \ \sin(x) \ dx \, dy - \iint_T 3 \ y^3 \ dx \ dy + \iint_T 5 \ dx \ dy$

Ya que tanto 2 sin(x) como 3y³ son funciones impares, y existe simetría tanto con respecto al eje x como con respecto al eje y, las primeras dos integrales se nulifican, de tal forma que la integral original es igual únicamente a la tercera.

$\iint_T (2 \ \sin(x) - 3 \ y^3 + 5) \ dx \, dy = \iint_T 5 \ dx \, dy = 5 \pi$

Cambio de variables

A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano. El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.

Si se utiliza una transformación que siga la relación:

$f(y_1,\ldots,y_n) \rightarrow f(y_1(x_1,x_2,\ldots,x_n),\ldots,y_n(x_1,x_2,\ldots,x_n))$

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

$J=\frac{D(y_1,\ldots,y_n)}{D(x_1,\ldots,x_n)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial y_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial y_n}{\partial x_n} \end{vmatrix}$

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

$\iint \ldots \int_{D} \,f(y_1,\ldots,y_n) dy_1 \ldots \,dy_n = \iint \ldots \int_{T} \,f(x_1,\ldots,x_n) |J| dx_1 \ldots \,dx_n$

A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.

Coordenadas Polares

En un espacio R², un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

$f(x,y) \rightarrow f(\rho \ \cos \theta,\rho \ \sin \theta )$

Por ejemplo:

Si la función es $f(x,y) = x + y\,\!$

aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a $\phi$ y a $\rho$ .

$f(\rho, \phi) = \rho \cos \phi + \rho \sin \phi = \rho \ (\cos \phi + \sin \phi ).$

Se pueden obtener funciones incluso más simples:

Si la función es $f(x,y) = x^2 + y^2\,\!$

Uno tiene:

$f(\rho, \theta) = \rho^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \rho^2\,\!$

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (\rho, \theta)} = \begin{vmatrix} \cos \theta & - \rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{vmatrix} = \rho$

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respecto a ρ y en la segunda con respecto a $\theta$ .

Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a la integral original:

$\iint_D f(x,y) \ dx\, dy = \iint_T f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho \, d \rho\, d \theta.$

Coordenadas Esféricas

Cuando existe simetría esférica en un dominio en R³, es posible utilizar una transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple. La función es transformada por la relación:

$f(x,y,z) \longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi)\,\!$

El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta, \phi)} = \begin{vmatrix} \cos \theta \sin \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \phi\\ - \rho \sin \theta \sin \phi& \rho \cos \theta \sin \phi & 0 \\ \rho \cos \theta \cos \phi & \rho \sin \theta \cos \phi & - \rho \sin \phi \end{vmatrix} = - \rho^2 \sin \phi$

Tomando el valor absoluto del determinante se obtiene el factor que se debe añadir a la integral.

Por lo tanto los diferenciales dx dy dz se transforman en ρ² sin(φ) dρ dθ dφ.

Finalmente se obtiene la fórmula de integración:

$\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \theta \sin \phi, \rho \sin \theta \sin \phi, \rho \cos \phi) \rho^2 \sin \phi \, d\rho\, d\theta\, d\phi.$

Coordenadas Cilíndricas

El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una integral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integración presenta simetría alrededor del eje z. La función se transforma mediante la siguiente relación.

$f(x,y,z) \rightarrow f(\rho \ \cos \theta,\rho \ \sin \theta, z)$

El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:

$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho, \theta,z)} = \begin{vmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ - \rho \sin \theta & \rho \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \rho$

Por lo tanto, se puede derivar la siguiente fórmula de integración:

$\iiint_D f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_T f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, z) \rho \, d\rho\, d\theta\, dz.$

FUNCIONES IMPLÍCITAS

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de $\mathbb{R}^2$ entre las variables x e y:

$y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,$

DIFERENCIACIÓN:

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:

Dada una función $F(x,y) \,$ , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: $\frac{dy}{dx} = f'(x)$ .

Si consideramos $y = f \left ( x \right )$ es una función en términos de la variable independiente x y $G \left ( y \right )$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que $y = f \left ( x \right )$ , entonces para obtener la derivada:

$D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G' \left ( f \left ( x \right ) \right ) \left ( f' \left ( x \right ) \right )$

Las derivadas de orden superior de una función implícita se pueden calcular mediante la derivación sucesiva de la fórmula anterior, considerando y como función de x.

Las derivadas parciales de una función implícita de dos variables