Cálculo Vectorial

viernes, 11 de octubre de 2013

03 de octubre: Derivadas de orden superior

Si f es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales también son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar a sus derivadas parciales, las cuales se llaman segundas derivadas parciales de f.

Así, si f:D⊆ ℝ 2 →ℝ es una función de dos variables que tiene derivadas parciales respecto de x y de y en todos los puntos de D, quedan definidas dos nuevas funciones f x , f y :D⊆ ℝ 2 →ℝ .

Si las derivadas parciales de estas funciones existen se pueden definir las derivadas parciales de orden 2.

Teorema de Young

Este teorema afirma que si z=f(x,y) y f es continua en un punto P(x,y) y las derivadas parciales de primer orden son continuas en el punto P, entonces se cumple que:

(∂²f/ ∂x ∂y)= (∂²f/ ∂y ∂x)

30 de septiembre: Derivadas de funciones de varias variables

Derivadas Parciales

En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.

Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran más variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.

Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rⁿ y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a₁,..., a_n) ∈ U con respecto a la i-ésima variable x_i como:

$\frac{ \partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \rightarrow 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

$\frac{ \partial f }{ \partial x } = \partial_xf = f'_{x}$

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Recordemos que la gráfica de $\,z = f(x, y)\,$ representa una superficie $\,S\,$ . Si $\,f(a, b) = c\,$ , entonces el punto $\,P = (a, b, c)\,$ está sobre la superficie $\,S\,$ . El plano vertical $\,y = b\,$ interseca a la superficie $\,S\,$ en la curva $\,C_1\,$ (es decir, $\,C_1\,$ es la traza de la superficie $\,S\,$ sobre el plano $\,y = b\,$ . De manera semejante, el plano vertical $\,x = a\,$ interseca a la superficie $\,S\,$ en la curva $\,C_2\,$ . Ambas curvas pasan por el punto $\,P\,$ .

Observe que la curva $\,C_1\,$ es la gráfica de la función $\,g(x, b)\,$ de manera que la pendiente de su recta tangente $\,T_1\,$ en el punto $\,P\,$ es $\,g'(a) = f_x(a, b).\,$ La curva $\,C_2\,$ es la gráfica de la función $\,g(y) = f(a, y),\,$ así que la pendiente de su tangente $\,T_2\,$ en el punto $\,P\,$ es $\,g'(b) = f_y(a, b).\,$


Figura 1: derivada parcial en P respecto a x Figura 2: derivada parcial en P respecto a y

Por consiguiente, las derivadas parciales $\,f_y(a, b)\,$ y $\,f_y(a, b)\,$ pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas $\,C_1\,$ y $\,C_2\,$ en el punto $\,P\,$ , respectivamente.

Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si $\,z = f(x, y)\,$ , entonces $\,f_x\,$ representa la razón de cambio de $\,z\,$ con respecto a $\,x\,$ , cuando $\,y\,$ permanece fija. De manera semejante, $\,f_y\,$ representa la razón de cambio de $\,z\,$ con respecto a $\,y\,$ , cuando $\,x\,$ permanece fija.

Cálculo Vectorial

viernes, 11 de octubre de 2013

03 de octubre: Derivadas de orden superior

Si f es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales también son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar a sus derivadas parciales, las cuales se llaman segundas derivadas parciales de f.

Así, si f:D⊆ ℝ 2 →ℝ es una función de dos variables que tiene derivadas parciales respecto de x y de y en todos los puntos de D, quedan definidas dos nuevas funciones f x , f y :D⊆ ℝ 2 →ℝ .

Si las derivadas parciales de estas funciones existen se pueden definir las derivadas parciales de orden 2.

Teorema de Young

(∂²f/ ∂x ∂y)= (∂²f/ ∂y ∂x)

30 de septiembre: Derivadas de funciones de varias variables

Derivadas Parciales

miércoles, 2 de octubre de 2013

Semana 8: derivadas parciales

domingo, 29 de septiembre de 2013

Semana: 7 límites y continuidad de funciones de varias variables

RESÚMENES

EVIDENCIAS

viernes, 11 de octubre de 2013

03 de octubre: Derivadas de orden superior

Si f es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales también son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar a sus derivadas parciales, las cuales se llaman segundas derivadas parciales de f.

Así, si f:D⊆ ℝ 2 →ℝ es una función de dos variables que tiene derivadas parciales respecto de x y de y en todos los puntos de D, quedan definidas dos nuevas funciones f x , f y :D⊆ ℝ 2 →ℝ .

Si las derivadas parciales de estas funciones existen se pueden definir las derivadas parciales de orden 2.

Teorema de Young

(∂2f/ ∂x ∂y)= (∂2f/ ∂y ∂x)

30 de septiembre: Derivadas de funciones de varias variables

Derivadas Parciales

miércoles, 2 de octubre de 2013

Semana 8: derivadas parciales

domingo, 29 de septiembre de 2013

Semana: 7 límites y continuidad de funciones de varias variables

(∂²f/ ∂x ∂y)= (∂²f/ ∂y ∂x)