30 de septiembre: Derivadas de funciones de varias variables

Derivadas Parciales

En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.

Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran más variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función.

 Como las derivadas en una variable, las derivadas parciales están definidas como el límite. Donde U es un subconjunto abierto de Rⁿ y f : U → R una función. Definimos derivada parcial de f en el punto a = (a₁,..., a_n) ∈ U con respecto a la i-ésima variable x_i como:

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

 

Interpretación geométrica de la derivada parcial 

Recordemos que la gráfica de representa una superficie . Si , entonces el punto está sobre la superficie . El plano vertical interseca a la superficie  en la curva  (es decir,  es la traza de la superficie  sobre el plano . De manera semejante, el plano vertical  interseca a la superficie  en la curva . Ambas curvas pasan por el punto . 

Observe que la curva  es la gráfica de la función  de manera que la pendiente de su recta tangente en el punto  es  La curva  es la gráfica de la función  así que la pendiente de su tangente  en el punto  es 

Figura 1: derivada parcial en P respecto a x Figura 2: derivada parcial en P respecto a y

Por consiguiente, las derivadas parciales  y  pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas  y  en el punto  , respectivamente. 

Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si , entonces  representa la razón de cambio de con respecto a , cuando permanece fija. De manera semejante,  representa la razón de cambio de  con respecto a , cuando  permanece fija.