viernes, 11 de octubre de 2013

Semana: 07-10 de octubre

INCREMENTOS TOTAL Y PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Para funciones de una variable $\,y = f(x)\,$, se define el incremento de $\,y\,$ como 
\begin{displaymath}\Delta y \, = \, f(x + \Delta x) - f(x) \end{displaymath}

y la diferencial de $\,y\,$ como 
\begin{displaymath}dy\,=\,f'(x)dx\end{displaymath}

$\,\Delta y\,$ representa el cambio en la altura de la curva $\,y\,=\,f(x)\,$ y $\,dy\,$ representa la variación en $\,y\,$ a lo largo de la recta tangente cuando $\,x\,$ varía en una cantidad $\,dx\,=\, \Delta x\,$.
En la siguiente figura se muestra $\,df\, \, \mbox{y} \, \, \Delta f\,$.
Figura 1: diferencial
 

Observe que $\,\Delta y - dy\,$ se aproxima a cero más rápidamente que $\,\Delta x\,$, ya que 
$\,\displaystyle{\epsilon\,= \, \frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\, = \, \frac{f(x ... ...x)\Delta x}{\Delta x}\, = \, \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - f'(x)}\,$
y al hacer $\,\Delta x \longrightarrow 0\,$, tenemos que $\,\epsilon \longrightarrow 0\,$. 
Por tanto
\begin{displaymath}\Delta y \, = \, dy + \epsilon\, \Delta x\end{displaymath}


donde $\,\epsilon \longrightarrow 0\,$ conforme $\,\Delta x \longrightarrow 0\,$. 
 

Ahora consideremos una función de dos variables $\,z\, = \, f(x, y)\,$. 
Si $\,x\,$ y $\,y\,$ son incrementados $\,\Delta x\,$ y $\,\Delta y\,$, entonces el correspondiente incremento de $\,z\,$ es 
\begin{displaymath}\Delta z\, = \, f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)\end{displaymath}


Con lo cual $\,\Delta z\,$ representa el cambio en el valor de $\,f\,$ cuando $\,(x, y)\,$ cambia a $\,(x + \Delta x, \; y + \Delta y)\,$.


Sean $\,f :\,D \subset \mathbb{R}^{2}\, \longrightarrow \mathbb{R}\,$una función escalar y $\,\Delta x\,$ y $\,\Delta y\,$ incrementos de $\,x\,$ y de $\,y\,$, entonces la diferencial total de la variable dependiente $\,z\,$ es 
\begin{displaymath}dz\, = \, f_{x}(x, y)\Delta x + f_{y}(x, y)\Delta y\end{displaymath}



DERIVADA DIRECCIONAL

Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:
Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t
Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:
(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)
Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:
(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).

Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto
La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)
El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:
Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:

 


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