domingo, 29 de septiembre de 2013

Semana: 7 límites y continuidad de funciones de varias variables

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD: Ingeniería Mecánica
NOMBRE: Johana Yaselga
FECHA: 29-09-2013






Semana: 23-27 de septiembre

DERIVADAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independienteal siguiente límite, si existe y es finito:
calculado suponiendoconstante.
Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente al siguiente límite, si existe y es finito:
calculado suponiendoconstante.

Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivando.

EJEMPLO.
Dada la funcióndefinida por Halla y .

Solución:
Considerando como una constante, tenemos:

Considerando como una constante, tenemos:

Semana: 16-20 de septiembre

CURVAS DE NIVEL

Sea z=f(x,y) una función de dos variables se llaman curvas de nivel al conjunto de todos los puntos (x,y) donde f(x,y)=c, siendo "c" una constante.

Gráfica de una función de dos variables
 Sea f(x,y)=z, su gráfica es el conjunto de x, y, f(x,y) representados en el espacio, siendo (x,y) elemento del Dominio de f.

Ejemplos:

Semana: 9-13 de septiembre

FUNCIONES  REALES DE VARIAS VARIABLES

Se llama función real de variable real  a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x deD le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

                                           
                                             

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

· El conjunto inicial o dominio de la función.
· El conjunto final o imagen de la función.
· La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.


DOMINIO DE DEFINICIÓN

El dominio de definición de una función f:XY se define como el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto Y de llegada, llamado codominio. Esto, escrito de manera formal:
 D_f = \; \left\{x \in X | \exists y \in Y: f(x)=y\right\}
 El análisis del dominio de definición se realiza:
1.- analíticamente
2.- gráficamente(el plano y en el espacio)
3.- descriptivamente.

Ejemplo:

Semana: 2-6 de septiembre



SUPERFICIES CUÁDRICAS


SE llaman así a las superficies en el espacio que vienes dadas por ecuaciones de segundo grado:
\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z +
G = 0\end{displaymath}

Observación: en la ecuación de segundo grado $A\,x^2 +
B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z +
G = 0$ deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos $xy$$xz$ y $yz$, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso.

Ejemplos:

$\bullet \;$ Elipsoide
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +
\frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0,
0$), $(0, \pm b,
0)$ y $ (0,
0, \pm c)$ .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

Figura 1. Elipsoide


  •  Paraboloide elíptico

La gráfica de la ecuación 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales $z =
k$ son elipse :
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{k}{c}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k\;$ o $ ;y = k$ son parábola. 
Figura 2. Paraboloide elíptico

 ANÁLISIS:
1.- Intersección con los ejes coordenados.
2.- Intersección con los planos coordenados.
3.- Intersección con planos paralelos a los planos coordenados
4.- Trazado del gráfico de la superficie.

Ejemplo de análisis:








lunes, 23 de septiembre de 2013

Semana 6: Curvas de nivel

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
FACULTAD: Ingeniería Mecánica
NOMBRE: Johana Yaselga
FECHA: 16-09-2013




domingo, 15 de septiembre de 2013