domingo, 29 de septiembre de 2013

Semana: 2-6 de septiembre



SUPERFICIES CUÁDRICAS
SE llaman así a las superficies en el espacio que vienes dadas por ecuaciones de segundo grado:
\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0\end{displaymath}

Observación: en la ecuación de segundo grado $A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z + G = 0$ deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos $xy$, $xz$ y $yz$, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso.

Ejemplos:

$\bullet \;$ Elipsoide
La gráfica de la ecuación:
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0, 0$), $(0, \pm b, 0)$ y $ (0, 0, \pm c)$ .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.

Figura 1. Elipsoide
  •  Paraboloide elíptico

La gráfica de la ecuación 
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales $z = k$ son elipse :
\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{k}{c}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k\;$ o $ ;y = k$ son parábola. 
Figura 2. Paraboloide elíptico

 ANÁLISIS:
1.- Intersección con los ejes coordenados.
2.- Intersección con los planos coordenados.
3.- Intersección con planos paralelos a los planos coordenados
4.- Trazado del gráfico de la superficie.

Ejemplo de análisis:
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